Lehrstuhl für Astronomie, Universität Würzburg

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Lectures

SS2014

Allgemeine Relativitätstheorie

WS2013/14

Oberseminar: Allgemeine Relativitätstheorie Einführung in die Astronomie

SS2013

Allgemeine Relativitätstheorie

WS2012/13

Compact Objects Introduction to Space Physics

Allgemeine Relativitätstheorie (SS 2013)


Prof. Dr. F. Röpke, K. Marquardt, Dr. S. Hachinger

Veranstaltungen:

Die erste Vorlesung findet am Dienstag, den 16.04.2013 statt!

Themen:

Die folgenden Themen werden in der Vorlesung behandelt:

Übungsaufgaben:

Um die Übungsaufgaben herunterladen zu können wird ein Passwort benötigt, dieses wird in der Vorlesung bekannt gegeben.
Übungsblatt 01 Übungsgruppe am Donnerstag, den 25.04.2013
Übungsblatt 02 Übungsgruppe am Donnerstag, den 16.05.2013
Übungsblatt 03 Übungsgruppe am Donnerstag, den 06.06.2013
Übungsblatt 04 Übungsgruppe am Donnerstag, den 20.06.2013
Übungsblatt 05 Übungsgruppe am Donnerstag, den 04.07.2013
Übungsblatt 06 (Zusatzaufgabe)

Literatur:

FAQ:

  1. Vorwort

    Hier wollen wir einige Fragen, die im Umfeld der Vorlesung ART aufgetreten sind beantworten. Sollten eure Fragen hier nicht auftauchen oder nicht ausreichend beantwortet werden, bitten wir um Rücksprache. Sollten missverständliche Formulierungen auftauchen oder euch mögliche Fehler auffallen, bitten wir ebenfalls um eure Rückmeldung. Ich möchte hier Dr. Stephan Hachinger danken, dessen Arbeit maßgeblich zu diesem FAQ und seinen Inhalten geführt hat.

  2. Warum wird die Kosmologische Konstante in der Schwarzschildlösung (Vorlesung) nicht berücksichtigt?

    In der Tat existieren Lösungen der ART in einer sphärisch-symmetrischen Raumzeit, für die Λ≠0 angenommen wird (Schwarzschild-de-Sitter-/Schwarzschild-anti-de-Sitter-Lösung). Diese werden in neueren Publikationen ausführlich untersucht ( z.B.: http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevD.60.044006 ).
    Die Effekte einer kosomologischen Konstante realistischer Größenordnung (heute wird angenommen 1.0E-52/m², siehe deutsche Wikipedia) nahe des schwarzen Lochs sind jedoch vernachlässigbar: In der Metrik werden die Terme

    ( 1 - r0 / r ) [r0: Schwarzschildradius]

    durch Terme

    ( 1 - r0 / r - r²Λ / 3 )

    ersetzt. Hierbei ist z.B. für einen Schwarzschildradius von 10000m der Λ-Term vernachlässigbar bis 1.0E18m gegenüber dem r0/r-Term (d.h. gegenüber dem normalerweise im Nahbereich dominierenden Term); bis 1.0E26m außerdem gegenüber dem 1-Term (d.h. dem normalerweise im Fernbereich dominierenden Term).

  3. Was bedeuten die Zeilen und Spalten des Energie-Impuls-Tensors genau?

    Wenn der Energie-Impuls-Tensor so aufgestellt wird, dass die Energie-Impuls-Erhaltung
    νTμν
    lautet (z.B. bei Landau-Lifschitz, bei Schutz, aber nicht bei Jackson), können die Zeilen/Spalten interpretiert werden wie folgt [beachte: hierbei lokale Inertialsystem-Metrik diag(-1,1,1,1), x0 = ct, x0 = -ct]:

    T00: Energiedichte

    T0i: durch c geteilte Energiestromdichte;
    somit ist also die Erste Zeile der Energie-Impuls-Erhaltung die Energieerhaltung
    (∇νT = 0, in flachen Raumzeiten ∂ctT00 - div T0i = 0)

    Ti0: Impulsdichte (der i-ten Impulskomponente) mal c

    Tik: Impulsstromdichtetensor, z.B. ist T12 die Stromdichte des 1-Impulses (d.h. x-Impulses) in 2-Richtung (d.h. entlang der y-Achse).

    Beispiel: Energie-Impuls-Tensor des idealen Fluids: Tμν = ( ρ + p / c² ) Uμ Uν + p ημν

    T00: ρ γ2 c2 + p ( γ2 - 1 ) (ohne Druck: "Dichte der relativistischen Masse" mal c²: beachte den Gamma-Faktor, einmal fuer die "relativistische" Masse, einmal weil sich Volumenelemente entlang der Bewegunsrichtung verkürzt).

    T0i: γ2 c ( ρ + p / c² ) vi (ohne Druck: die durch c geteilte Energiedichte mal Geschwindigkeit)

    Ti0: vi γ c γ( ρ + p / c² )  (im Prinzip selber Term wie T0i; Dichte des relativistischen Impulses mal c: γ( ρ + p / c² )  ist die Massendichte im ruhenden System, wo das Volumen kontrahiert erscheint - daher γ, vi γ ist der räumliche Teil des relativistischen Impulses Pμ, für den gilt: E² / c² = Pμ Pμ)

    Tik: Impulsstromdichtetensor, z.B. ist T12 die Stromdichte des 1-Impulses (d.h. x-Impulses) in 2-Richtung (d.h. entlang der y-Achse).

  4. Warum ist bei Aufgabe 2, Blatt 5 der Druck im nicht-relativistischen Grenzfall klein? Warum muss ein Term "v⋅∇p" vernachlässigt werden, um z.B. die Kontinuitätsgleichung zu erhalten?

    Der Druck hängt bei Gasen mit der internen Energiedichte ε zusammen (ε = P / 3 im extrem-relativistischen Grenzfall, ε = 2P / 3 im nicht-relativistischen). Wenn die interne Energie einzelner Fluidelemente vergleichbar mit deren Ruhemasse wird, verlässt man den Bereich des nicht-relativistischen Limits (d.h. die Fluidelemente verhalten sich nicht mehr wie ein nicht-relativistisches ideales Gas). Eine sinnvolle Forderung, die das Verbleiben im nicht-relativistischen Grenzfall sicherstellt, ist p << ρc² (womit die interne Energiedichte die "Energiedichte durch Ruhemasse" nicht erreicht).

    Die Vernachlässigung der Terme mit ∇p ist nötig wenn (wie in einer Übungsgruppe gezeigt), die Eulergleichungen aus den 0-ten und i-ten Komponenten der Energie-Impulserhaltung (d.h., in anderen Worten, die Energie-Impuls-Erhaltungsgleichung projiziert auf die Einheitsvektoren) hergeleitet werden sollen. Man kann diese Problematik vermeiden, indem man die Projektion der Energie-Impulserhaltungsgleichung auf Uμ und orthogonal dazu betrachtet: wenn man diese Projektion durchführt, teilt sich die Energie-Impulserhaltung derart auf 2 Gleichungen auf, dass die Kontinuitätsgleichung (wie in der anderen Übungsgruppe gezeigt) auch bei unbestimmtem Druckgradienten herauskommt:

    Hier eine kurze Lösungsskizze (c=1 der Einfachheit halber):

    Energie-Impuls-Erhaltung ausgeschreiben:
    (ρ+P)UμνUν + UμUννρ + UμUννP + (ρ+P)UννUμ + gμννP = 0

    Man überzeugt sich relativ leicht, dass bei Multiplikation dieser Gleichung mit Uμ (d.h. Projektion auf U) nur von den ersten beiden Termen etwas übrigbleibt, unter anderem weil UβαUβ = ∂α (UβUβ) / 2 = 0 (deswegen die Angabe des konstanten Skalarprodukts von U mit sich selbst). Die Multiplikation mit Uμ ergibt also:

    (ρ+p)∂νUν + Uννρ = 0,

    also die Kontinuitätsgleichung, wenn P gegenüber ρ vernachlässigbar ist. Wenn dies jetzt in die obere Gleichung (E-P-Erhaltung) eingesetzt wird, dann erhält man die Forderung, dass der orthogonale Teil der Erhaltungsgleichung verschwinden muss:

    (ρ+P)UννUμ + (UμUν+gμν)∂νP = 0

    Der räumliche Teil dieser Gleichung (Index μ von 1...3) ergibt die Eulergleichung, wenn p << ρ und v² << 1 verwendet wird. Der zeitliche Teil der Gleichung ist interessanterweise (unter der Voraussetzung ∂νU0=0, was nur für kleine Geschwindigkeiten gilt), gerade äquivalent zu unserer "fragwürdigen Forderung" v⋅∇p = 0, womit letztere im gegebenen Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten und Drücke aus der Energie-Impuls-Erhaltung zu folgen scheint.

Vorlesungs Material

Folien

© Kai Marquardt — 2012